比特币的数学原理是什么?

比特币的数学原理加密算法一共有两类:非对称加密算法(椭圆曲线加密算法)和哈希算法(SHA256,RIMPED160算法)。

椭圆曲线加密算法

试想有一种乘法,可以在已知a,b的情况下计算出c=a*b,但已知c,a不能计算出b。

我们可以利用这种乘法进行加密解密。

设明文m,密文g1,g2。

用公钥a,c=a*b,r(随机数)加密:

g1=m+r*c

g2=r*a

用私钥a,b解密:m=g1-b*g2

证明:

g1-b*g2

=m+r*c-b*r*a

=m+r*c-r*c

=m

我们还可以利用这种乘法进行签名认证。

设原文m,签名g1,g2。

用私钥a,b,r(随机数)签名:

x=r*a

g1=SHA(m,x)

g2=r-g1*b

用公钥验证:

g2*a+g1*c

=(r-g1*b)*a+g1*c

=r*a-g1*b*a+g1*c

=r*a-g1*c+g1*c

=r*a

=x

计算SHA(m,x)是否和g1相等。

这就是加密解密层面上的椭圆曲线加密算法。

比特币私钥(private key),公钥(public key),公钥哈希值(pubkeyhash),比特币地址(address)

公钥和私钥由椭圆曲线加密算法生成,私钥可推出公钥而反之不能。

有了私钥,你就可以对文本签名。别人拿了你的公钥就可以根据签名认证你是否拥有私钥。这就是证明你拥有存款的办法。

为了安全起见,公钥应该隐藏起来。所以对公钥进行哈希加密,生成公钥哈希值然后计算哈希值的比特币地址:

公钥哈希值=RIMPED160(SHA256(公钥))

比特币地址=*1*+Base58(0+公钥哈希值+校验码)

校验码=前四字节(SHA256(SHA256(0+公钥哈希值)))

可以看出,地址和公钥哈希值是等价的(可以互推)但公钥哈希值只能由公钥算出(不能逆推)。

验证的时候需要提供签名和公钥,算出公钥哈希值并和比特币支出脚本的公钥哈希值对比,最后再验证签名。这样就保证了公钥不会出现在支出脚本里。

(收入单提供签名,支出单提供公钥,或者收入单提供签名和公钥,支出单提供公钥哈希值,这两种验证办法是比特币的标准脚本)

哈希(Hash)算法

哈希算法(又称散列算法)不是加密解密算法,因为其加密的过程是不可逆的(你只能加密不能解密),也没有所谓的公钥私钥的概念。

哈希算法原理是将一段信息转换成一个固定长度的字符串。这个串字符串有两个特点:

1、如果某两段信息是相同的,那么字符串也是相同的。

2、即使两段信息十分相似,但只要是不同的,那么字符串将会十分杂乱随机并且两个字符串之间完全没有关联。

信息可以是一串数字,一个文件,一本书。。。。。。只要能编码成一串数字即可。

显然,信息有无数多种而字符串的种类是有限的(因为是固定长度),所以这种加密是不可逆的。

哈希算法的用途

1、验证两段信息是否相同。

A使用QQ给B传了一个文件,这个文件会在QQ的服务器上保存下来。如果C也传了这个文件给D,QQ会对比这个文件的哈希值和A传给B的文件的哈希值是否相同,如果相同则说明是同一个文件,C就不需要再一次上传文件给服务器。这就是所谓的秒传。

一个压缩包在传输的时候可能会有损坏。在压缩之前计算原文件的哈希值并放入压缩包中,待解压后再次计算解压文件的哈希值。对比压缩包中的哈希值则可以知道文件是否损坏。BT和迅雷下载中所谓的哈希验证也是同一道理。

2、验证某人是否信息持有者。

在一个论坛注册帐号,如果论坛把密码保存起来,因为无论坛多么安全都可能会被破解,所以密码总会有泄漏的可能性。

如果不保存密码而保存密码的哈希加密值。当你下次登陆论坛的时候,将你输入的密码的哈希值和你注册时密码的哈希值比对,如果相同则可以证明你就是密码持有者了。这样既保证了密码泄露的可能,又保证了验证持有者的功能。

哈希算法的破解

假如论坛被破解了,黑客获得了哈希值,但黑客只有哈希值依旧是不能登陆论坛的,他得算出用户的密码。

他可以随机产生密码一个一个试,如果算出的哈希值正好和这个哈希值相同,则说明这个密码可用。这就是所谓的猜密码。

显然,密码长度越长,密码越复杂,猜到的可能性就越低。如果有一种办法能增加这种猜到可能性,使其大到能够容忍的范围,则该哈希算法被破解了。

例如原本猜中的概率是1/10000000000000,现在增加到了1/1000。如果每猜一个密码需要1秒,按照之前的概率猜知道太阳毁灭都可能没猜中,但后者只需要1小时就足够了。

另外,由于信息的种类是无限的,所以你猜中的密码未必就是原先的密码,它们可能是碰巧哈希值相同而已,这就是所谓的碰撞。

如同增加猜中概率一样,如果能增加碰撞的概率,那么同样可以轻易登陆论坛(因为论坛也不知道原本的密码是什么,所以猜的密码和原密码不同也没关系,只要哈希值相同即可)。

一旦碰撞容易轻易产生,那么哈希算法就被破解了。前几年闹得沸沸扬扬的哈希算法破解就是这么回事,数学家通过一定办法增加了碰撞的概率。

哈希算法的大致加密流程

1、对原文进行补充和分割处理(一般分给为多个512位的文本,并进一步分割为16个32位的整数)。

2、初始化哈希值(一般分割为多个32位整数,例如SHA256就是256位的哈希值分解成8个32位整数)。

3、对哈希值进行计算(依赖于不同算法进行不同轮数的计算,每个512位文本都要经过这些轮数的计算)。

经过这样处理以后,哈希值就显得十分杂乱随机了。

非对称加密算法

非对称加密算法是世界上最重要的加密解密算法。所谓非对称,是指加密和解密用到的公钥和私钥是不同的。非对称加密算法依赖于求解一数学问题困难而验证一数学问题简单。

RSA算法

著名的RSA加密算法就是利用了对一个大整数进行因数分解困难,验证因子组成某个大整数容易的原理而编写的。

具体说,比如求143的因子,你可能需要进行11次除法才能得到143=11*13的结果。但是要验证11*13=143,则只需要一次乘法就够了。

如要破解RSA,只需要能够快速分解大整数即可,显然这是破解RSA最简单最快速的办法。但要分解大整数是极不容易的(数学上叫做NP-Hard问题),这也就是RSA能保证其不能被破解的原因。

反之,如果人类某天找到了快速分解大整数的办法(例如利用量子计算机进行计算),则RSA算法就立即被破解了。

RSA算法的大致原理

生成公钥和私钥:

1、生成一对大质数p,q,求出n=p*q和f=(p-1)*(q-1)。

2、生成一个随机数e,满足e<f且e,f互质。

3、求出e关于f的模逆d,即求出e*d=1 mod f。

设明文为m,密文为g。

用公钥n,e加密:m^e=g mod n

用私钥n,d解密:g^d=m mod n

证明解密后的明文就是原先的明文:

根据加密解密规则,将g=m^e mod n代入g^d=m mod n后,发现只要证明m^(e*d)=m mod n即可(同余运算的原理)。

由于e*d=1 mod f,所以只需证明m^(f+1)=m mod n即可。根据欧拉定理,f是欧拉函数所以得证。(具体的数学原理这里不再赘述)

显然,如果知道了f,就可以根据公钥n,e计算出d破解明文。要知道f,必须得知道p和q。要知道p和q,必须将n分解。所以RSA的破解依赖于整数分解。

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